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重み付きサンプリング

weighted sampling

 多重積分を一様乱数を用いて効率よく計算する方法.積分\[I = \int_{ - \infty }^\infty {\int_{ - \infty }^\infty {f(x,y)dxdy} } \]でfが原点から離れると急激に減少する場合には,同様の傾向を示す関数,例えば\(g(x,y) = {\pi ^{ - 1}}\sqrt {\alpha \beta } \exp ( - a{x^2} - \beta {y^2})\)でfを規格化し,\(I = {\iint {\mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\frown$}} \over f} gdxdy} } \)を考える.ここに\(\mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\frown$}} \over f} \equiv f/g\).またgは確率密度.Iは\(\mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\frown$}} \over f} \)の期待値になるから,gから抽出したランダムサンプル(x1, y1),(x2, y2), …, (xN, yN)を用いてIの近似値は\[I = {N^{ - 1}}\sum\limits_{i = 1}^N {\mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\frown$}} \over f} } ({x_i},{y_i})\]となる.