✎ 最小二乗法 [JSME Mechanical Engineering Dictionary]

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====== 最小二乗法 ======
==== least square method ====

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　<i>Δ</i><i>t</i>間隔でサンプリングされた<b><i>N</i></b>個のデータ系列\({x_j};j = 0,1, \cdots ,N - 1\)が<i>m</i>次の推定多項式\({{\mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\frown$}}  \over x} }_j} = \sum\limits_{k = 0}^m {{a_k}{{(j\it\Delta t)}^k}} \)と推定誤差<i>ε<sub>j</sub></i>の和として\({x_j} = {{\mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\frown$}}  \over x} }_j} + {\varepsilon _j},j = 0,1, \cdots N - 1\)で表現できるものと考え，誤差<i>ε<sub>j</sub></i>の二乗和を最小にするように<i>a<sub>k</sub></i>を決める方法を最小二乗法という．すなわち\(I = \sum\limits_{j = 0}^{N - 1} {\varepsilon _j^2} \)とおき<i>I</i>を最小とする係数<i>a<sub>l</sub></i>を\(\partial I/\partial {a_l} = 0;l = 0,1, \cdots ,m\)より計算すると\({a_l};l = 0,1, \cdots ,m\)を未知数とする\((m + 1)\)元の連立方程式を得る．これを解くことにより<i>a<sub>t</sub></i>が得られる．データ系列の推定値\({\mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\frown$}}  \over x} _j}\)を表現するのに多項式以外にほかの既知関数を用いてもよい．


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