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エアリーの応力関数

Airy's stress function

 二次元弾性問題で物体力がない場合,ある関数\(\chi (x,y)\)によって応力成分を\[{\sigma _x} = \frac{{{\partial ^2}\chi }}{{\partial {y^2}}},{\sigma _y} = \frac{{{\partial ^2}\chi }}{{\partial {x^2}}},{\tau _{xy}} = - \frac{{{\partial ^2}\chi }}{{\partial x\partial y}}\]のように表せば,応力の釣合い式は\(\chi \)に無関係に満足される.適合条件から\[{\nabla ^2}{\nabla ^2}\chi = 0,{\nabla ^2} = \frac{{{\partial ^2}}}{{\partial {x^2}}} + \frac{{{\partial ^2}}}{{\partial {y^2}}}\]よって\(\chi \)は重調和関数である.与えられた境界条件から\(\chi \)を決定すれば正解となる.1862年Airyによって提唱されたものでエアリーの応力関数という.変位成分\({u_x}\),\({u_y}\)は\({\nabla ^2}\chi \frac{{{\partial ^2}\varphi }}{{\partial x\partial y}},{\nabla ^2}\varphi = 0\)より求まる調和関数より\[2G{u_x} = - \frac{{\partial \chi }}{{\partial x}} + \frac{{x + 1}}{4}\frac{{\partial \varphi }}{{\partial y}}\]\[2G{u_y} = - \frac{{\partial \chi }}{{\partial x}} + \frac{{x + 1}}{4}\frac{{\partial \varphi }}{{\partial x}}\]と表される.ここで\(G\)は横弾性係数,\(\kappa = (3 - \nu )/(1 + \nu )\)平面応力,\( = (3 - 4\nu )\)平面ひずみ,\(\nu \)はポアソン比である.【応力関数