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カスティリアーノの定理

Castigliano's theorem

 剛体運動のみが拘束されている弾性はりが,その中の\(n\)個の点\({{\rm{A}}_i} \left( {i = 1, \cdots ,n} \right)\)で横荷重\({F_i} \left( {i = 1, \cdots ,n} \right)\)および集中モーメント\({M_i} \left( {i = 1, \cdots ,n} \right)\)を受けるとする(図参照).全長\(l\)の弾性はりのコンプリメンタリ・エネルギー\({V_c}\)は\(EI\)を曲げ剛性とし,曲げモーメント\(M\)を\({F_i}\),\({M_i} \left( {i = 1, \cdots ,n} \right)\)を用いて表示すると\[{V_c}\left( {{F_i}{M_i}} \right) = \int_0^l {\frac{1}{{2EI}}{M^2}\left( {{F_i},{M_i}} \right)} dx\]であり,\({F_i}\),\({M_i}\)に関する二次形式になる.この力学系の全コンプリメンタリ・エネルギーΠcは対応する荷重点の荷重方向変位を\({v_i} \left( {i = 1, \cdots ,n} \right)\),回転角を\({\theta _{\rm{i}}}\left( {i = 1, \cdots ,n} \right)\)とすると\[{\it\Pi _c} = {V_c} - \sum\limits_{i = 1}^n {\left( {{F_i}{v_i} + {M_i}{\theta _i}} \right)} \]である.全コンプリメンタリ・エネルギー最小の原理より,Πcは横荷重\({F_i}\left( {i = 1, \cdots ,n} \right)\)および外モーメント\({M_i}\left( {i = 1, \cdots ,n} \right)\)の仮想的変化に対して停留するので,これらに関する偏微分係数が0となる.よって,たわみおよび回転角が\[{v_i} = \frac{{\partial {V_c}}}{{\partial {F_i}}},\,{\theta _i} = \frac{{\partial {V_c}}}{{\partial {M_i}}},\,i = 1, \cdots ,n\]と得られ,これをカスティリアーノの定理という.

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