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グルサーの応力関数

Goursat's stress function

 エアリーの応力関数χ(x,y)を複素変数\(z = x + iy\)の二つの解析関数φ(z),ψ(z)を用いて表示できる.\[\chi \left( {x,y} \right) = {\mathop{\rm \it Re}\nolimits} \left[ {\bar z\phi \left( z \right) + \psi \left( z \right)} \right] = \frac{1}{2}\left[ {\bar z\phi \left( z \right) + z\overline {\phi \left( z \right)} + \psi \left( z \right) + \overline {\psi \left( z \right)} } \right]\]ここでzの解析関数φ(z),ψ(z)は複素応力関数であり,グルサーの応力関数という.上式はグルサーの表示という.これより導かれる応力と変位の成分は\[\begin{array}{l} {\sigma _x} + {\sigma _y} = 2\phi '\left( z \right) + \overline {\phi '\left( z \right)} = 4Re\left[ {\phi '\left( z \right)} \right]\\ {\sigma _y} - {\sigma _x} + 2i{\tau _{xy}} = 2\left[ {\bar z\phi ''\left( z \right) + \psi ''\left( z \right)} \right]\\ 2G\left( {u + iv} \right) = \kappa \phi \left( z \right) - z\overline {\phi '\left( z \right)} - \overline {\psi '\left( z \right)} \end{array}\]ここで' はzに関する微分,κ=(3-ν)/(1+ν)(平面応力),=3-4ν(平面ひずみ),νはポアソン比である.これをコロソフ・ムスヘリシュビリの表示という.