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パプコビッチ・ノイバーの変位関数

Papcovich-Neuber's displacement potential

 変位の方程式を満足する解として,1932年Papcovichがまた1934年Neuberが示した調和変位関数である.\(\left( {x,y,z} \right)\)座標で\[\begin{array}{l} 2G{u_x} = \frac{\partial }{{\partial x}}\left( {{\phi _0} + x{\phi _1} + y{\phi _2} + z{\phi _3}} \right) - 4\left( {1 - \nu } \right){\phi _1}\\ 2G{u_y} = \frac{\partial }{{\partial y}}\left( {{\phi _0} + x{\phi _1} + y{\phi _2} + z{\phi _3}} \right) - 4\left( {1 - \nu } \right){\phi _2}\\ 2G{u_z} = \frac{\partial }{{\partial z}}\left( {{\phi _0} + x{\phi _1} + y{\phi _2} + z{\phi _3}} \right) - 4\left( {1 - \nu } \right){\phi _3} \end{array}\]ここで,\[\begin{array}{l} {\nabla ^2}{\phi _0} = {\nabla ^2}{\phi _1} = {\nabla ^2}{\phi _2} = {\nabla ^2}{\phi _3} = 0\\ {\nabla ^2} = \frac{{{\partial ^2}}}{{\partial {x^2}}} + \frac{{{\partial ^2}}}{{\partial {y^2}}} + \frac{{{\partial ^2}}}{{\partial {z^2}}} \end{array}\]で,Gは横弾性係数,νはポアソン比である.四つの変位関数の中,三つが独立であり,一つを除いても一般解となる.ベクトルで表示すると\[\begin{array}{l} 2G\boldsymbol{u} = {\rm{grad}}\left( {{\phi _0} + \boldsymbol {r \cdot \it {\Phi }}} \right) - 4\left( {1 - \nu } \right)\left[ {{\phi _1},{\phi _2},{\phi _3}} \right]\\ \boldsymbol{r} = \left[ {x,y,z} \right],\;\boldsymbol{\it \Phi } = \left( {{\phi _1},{\phi _2},{\phi _3}} \right) \end{array}\]【応力関数