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ひずみ増分理論

incremental strain theory

 塑性変形において,変形の各瞬間で
の塑性ひずみ増分\(d\varepsilon _{ik}^p\)をそのときの偏差応力\({{\sigma '}_{ij}}\)の関数と考える理論.例えば,等方性材料では,次式\[d\varepsilon _{ik}^p = {\sigma '_{ij}}d\lambda ;\,d\lambda = \frac{3}{2}\frac{{\overline {d{\varepsilon ^p}} }}{{\bar \sigma }} \geqq 0\]で与え,これをプラントル・ロイスの式という.ここに,相当塑性ひずみ増分\({\overline {d\varepsilon } ^p}\)は,成分\(d\varepsilon _{ik}^p\)を用いて次のように定義される.\[{\overline {d\varepsilon } ^p} = \left( {\sqrt 3 /2} \right){\left[ {{{\left( {d\varepsilon _x^p - d\varepsilon _y^p} \right)}^2} + {{\left( {d\varepsilon _y^p - d\varepsilon _z^p} \right)}^2} + {{\left( {d\varepsilon _z^p - d\varepsilon _x^p} \right)}^2} + \left( {9/4} \right)\left( {d\gamma _{xy}^{p2} + d\gamma _{yz}^{p2} + d\gamma _{zx}^{p2}} \right)} \right]^{1/2}}\]また,\(\bar \sigma \)はミーゼスの定義の相当応力である.上式を用いて増分形弾塑性構成式をつくるときは,J2-流れ理論(J2-flow theory)といわれる.異方性も含めたこの理論の一般形は,\[d\varepsilon _{ij}^p = \frac{{\partial f\left( {J'} \right)}}{{\partial {\sigma _{ij}}}}d\lambda ,\;d\lambda \geqq 0\]であり,\(f\left( {{{\sigma '}_{kl}}} \right)\)としては一般に降伏関数が用いられる.この理論はまた流れ理論とも呼ばれている.また,上式からfをポテンシャルとみなすことができ,塑性ポテンシャル理論とも呼ばれる.応力空間において,f=一定の曲面は考える時点の降伏曲面を表し,\(d\varepsilon _{ij}^p\)は降伏曲面上の現在の応力点で同曲面に垂直な方向を向くこととなる(法線則).したがって,降伏曲面が常にいたるところ滑らかであることが前提とされている.【全ひずみ理論プラントル・ロイスの式