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フックの法則

Hooke's law

 線形弾性体の応力とひずみの関係式をフックの法則という.応力テンソルを\({\sigma _{ij}}\),ひずみテンソルを\({\varepsilon _{kl}}\)とすると,線形弾性体に対する最も一般的な応力-ひずみ関係式は\[{\sigma _{ij}} = {C_{ijkl}}{\varepsilon _{kl}}\]で表され,これは一般化されたフックの法則と呼ばれている.ここで,\({C_{ijkl}}\)は弾性係数テンソルである.直角座標系\(\left( {x,y,z} \right)\)に関する応力成分\({\sigma _x},{\sigma _y},{\sigma _z},{\tau _{xy}},{\tau _{yz}},{\tau _{zx}}\)とひずみ成分\({\varepsilon _x},{\varepsilon _y},{\varepsilon _z},{\gamma _{xy}},{\gamma _{yz}},{\gamma _{zx}}\)の間には,弾性体が線形で等方性であるならば,次のような関係がある.\[\begin{array}{l} {\sigma _x} = 2G\left\{ {{\varepsilon _x} + \frac{\nu }{{1 - 2\nu }}e} \right\} = 2\mu {\varepsilon _x} + \lambda e\\ {\sigma _y} = 2G\left\{ {{\varepsilon _y} + \frac{\nu }{{1 - 2\nu }}e} \right\} = 2\mu {\varepsilon _y} + \lambda e\\ {\sigma _z} = 2G\left\{ {{\varepsilon _z} + \frac{\nu }{{1 - 2\nu }}e} \right\} = 2\mu {\varepsilon _z} + \lambda e\\ {\tau _{xy}} = G{\gamma _{xy}},\;{\tau _{yz}} = G{\gamma _{yz}},\;{\tau _{zx}} = G{\gamma _{zx}} \end{array}\]ここで,G, νはそれぞれ横弾性係数とポアソン比,μλはラーメの定数,\(e\left( { = {\varepsilon _x} + {\varepsilon _y} + {\varepsilon _z}} \right)\)は体積ひずみである.