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平面応力状態

plane stress state

 直角座標系\(\left( {{x_1},{x_2},{x_3}} \right)\)に関する応力成分のうち\({\sigma _{33}},{\sigma _{31}}\)および\({\sigma _{32}}\)が物体内いたるところで零である場合,その物体は\({x_1} - {x_2}\)面に平行な平面応力状態にあるという.これは,厚さ方向にx3軸を取り,板の面内に\({x_1},{x_2}\)軸を取った薄板が\({x_1} - {x_2}\)面内の外力を受ける場合の応力状態として近似的に実現できる.板が薄くなる程この状態に近づくが,有限厚さの薄板に対しては一種の理想化と考えることができる.板厚が十分薄くない場合には,板厚方向の平均値によって物体の変形特性が示される状態を一般化された平面応力あるいは平均平面応力の状態という.これは平面応力と同じ基礎式を満足する.平面応力問題は平面ひずみ問題と合せて,二次元弾性問題あるいは平面問題と言われるが,二次元弾性問題における場の方程式は\[\begin{array}{l} \left( {\rm{i}} \right){\sigma _{ij,j}} = - {F_i}\left( {応力の釣合式} \right)\\ \left( {{\rm{ii}}} \right){\sigma _{ii,k,k}} = - \frac{{3\lambda + 2\mu }}{{2\left( {\lambda + \mu } \right)}}{F_{k,k}}\left( {応力の適合方程式} \right)\\ \left( {{\rm{iii}}} \right){\sigma _{ij}} = \frac{{2\mu \lambda }}{{\lambda + 2\mu }}{u_{kk}}{\sigma _{ij}} + \mu \left( {{u_{i,j}} + {u_{j,i}}} \right)\left( {構成式} \right) \end{array}\]ここで,\(i,j,k = 1,2\)であり,さらに,\({\delta _{ij}}\)はクロネッカのデルタ,\(\lambda ,\mu \)はラーメの定数である.二次元弾性問題の解法は,平面重調和関数(∇22χ=0)であるエアリーの応力関数χを与えられた境界条件のもとで見つけ出す方法と,平面重調和関数の一般解が二つの複素解析関数で表わされることから二つの複素応力関数\(\varphi \left( z \right),\psi \left( z \right)\)に関するある種の関数方程式を解く方法とに分類される.【平面ひずみ状態