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ボルツマン方程式

Boltz-mann equation

 粒子(多くは気体分子)の位置xと運動量pに関する分布関数\(f\left( {\boldsymbol{x},\boldsymbol{p}} \right)\)の時関変化を規定する式で,\(\left( {\boldsymbol{r},\boldsymbol{p}} \right)\)と\(\left( {\boldsymbol{r} + d\boldsymbol{r},\boldsymbol{p} + d\boldsymbol{p}} \right)\)の間にある粒子数を\(f\left( {\boldsymbol{r},\boldsymbol{p}} \right)d\boldsymbol{r}d\boldsymbol{p}\)とすれば\[\frac{{\partial f}}{{\partial t}} + \frac{\boldsymbol{p}}{m} \cdot \frac{{\partial f}}{{\partial \boldsymbol{r}}} + \boldsymbol{F}\cdot\frac{{\partial f}}{{\partial \boldsymbol{p}}} = B\left( {ff} \right)\]と表される.Fは粒子に作用する外力である.左辺は\(\left( {\boldsymbol{r},\boldsymbol{p}} \right)\)空間座標系での分布関数の変化,右辺は生成項である.生成項は2個の粒子の作用(衝突,反応など)で\(\left( {{\boldsymbol{p}_1},{\boldsymbol{p}_2}} \right)\)から\(\left( {{{\boldsymbol{p'_1}}},{{\boldsymbol{p'_2}}}} \right)\)になる確率を\(P\left( {{\boldsymbol{p}_1},{\boldsymbol{p}_2} \to {{\boldsymbol{p'_1}}},{{\boldsymbol{p'_2}}}} \right)\)とすれば\[B\left( {ff} \right) = \int {\int {\int {f\left( {{\boldsymbol{p}_1}} \right)f\left( {{\boldsymbol{p}_2}} \right)P\left( {{\boldsymbol{p}_1},{\boldsymbol{p}_2} \to {{\boldsymbol{p}}},{{\boldsymbol{p'_2}}}} \right) \times d{\boldsymbol{p}_1}} d{\boldsymbol{p}_2}d{{\boldsymbol{p'_2}}}} } - \int {\int {\int {f\left( \boldsymbol{p} \right)f\left( {{\boldsymbol{p}_2}} \right)P\left( {\boldsymbol{p},{\boldsymbol{p}_2} \to {{\boldsymbol{p'_1}}},{{\boldsymbol{p'_2}}}} \right) \times } d{\boldsymbol{p}_2}d{{\boldsymbol{p'_1}}}d{{\boldsymbol{p'_2}}}} } \]外力が作用しないときは\[\frac{{\partial f}}{{\partial t}} + \boldsymbol{v}\frac{{\partial f}}{{\partial \boldsymbol{r}}} = B\left( {ff} \right)\]と表せる.