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運動エネルギー

kinetic energy

分子・原子の状態関数(波動関数)を\(\psi \)とするときその運動量は\(\left\langle \psi |i\hbar \nabla \psi \right\rangle \)であり,運動エネルギーは\(\left\langle \psi |-\hbar ^{2} / 2m)\nabla ^{2}\psi \right\rangle \)と表されるが,量子効果が小さいとき(→分子運力学)はそれぞれ\(\boldsymbol{p}( = m\boldsymbol{v})\),\({\boldsymbol{p}^2}/2m\left( { = 1/2m{\boldsymbol{v}^2}} \right)\)と表せる.分子の運動を質量中心の並進運動(\(\boldsymbol{v}\)),そのまわりの回転運動(\(\boldsymbol{\omega }\))とその座標系での分子内原子の運動(\(u_{i}\))に分けると,その分子の運動エネルギーは\[\begin{array}{l} \sum {\frac{1}{2}{m_i}\boldsymbol{v}_i^2 = \frac{1}{2}m{\boldsymbol{v}^2} + \frac{1}{2}I{\boldsymbol{\omega }^2} + \sum {\frac{1}{2}{m_i}\boldsymbol{u}_i^2} } \\ \quad \quad \quad \quad \quad \quad 並進\quad \quad 回転\quad \quad 振動 \end{array}\]と表される.\(m\)は分子の質量(\(\left( =\sum m_{i}\right) \),\(I\)は慣性モーメント\(〔 =\sum m_{i}\left( x_{i}-x_{0}\right) ^{2}〕 \).分子動力学的には運動エネルギーは分子の温度\(T\)と関係づけられ\[\dfrac {\nu} {2}kT=\dfrac {1} {2}mv^{2}\left( k:ボルツマン定数\right) \]と定義される.\(\nu \)はその運動エネルギーの運動の自由度であり,並進運動では\(V^{\left(\rm trance\right) }=3\),回転運動では\({\nu ^{\left( {{\rm{rot}}} \right)}} = 3\),2(直線分子),振動は\({\nu ^{({\rm{vib}})}} = 3n - 3 - {\nu ^{({\rm{rot}})}}\)であり,これらの運動に対しておのおの並進温度\({T^{({\rm{trans}})}}\),回転温度\({T^{({\rm{rot}})}}\),振動温度\({T^{({\rm{vib}})}}\)が定義される.\[\begin{array}{l} \frac{{{\nu ^{({\rm{trans}})}}}}{2}k{T^{({\rm{trans)}}}} = \frac{1}{2}m{\boldsymbol{v}^2},\\ \frac{{{\nu ^{({\rm{rot}})}}}}{2}k{T^{({\rm{rot)}}}} = \frac{1}{2}I{\boldsymbol{\omega }^2},\\ {\nu ^{({\rm{vib}})}}k{T^{({\rm{vib)}}}} = \sum {\frac{1}{2}} {m_i}\boldsymbol{u}_i^2 \end{array}\]
(13) 速度ベクトルvで運動する質量mの質点の運動方程式\[m\boldsymbol{\dot V} = \boldsymbol{F}(t)\]を運動経路に沿って点Aから点Bまで距離に関して積分すると,\[{\left[ {\frac{1}{2}m{\boldsymbol{v}^2}} \right]_{\rm{B}}} - {\left[ {\frac{1}{2}m{\boldsymbol{v}^2}} \right]_{\rm{A}}} = \int_{\rm{A}}^{\rm{B}} {F \cdot dr} \]が得られる.ここで上式の左辺の\(T = (1/2)m{\boldsymbol{v}^2}\)が運動エネルギーであり,速度の大きさだけで決まるスカラ量である.上式から,二つの状態の運動エネルギーの変化は外力の仕事に等しい.