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LQ制御

LQ control

 状態方程式\[\dot x(t) = \boldsymbol{Ax}(t) + \boldsymbol{Bu}(t),\boldsymbol{y}(t) = \boldsymbol{Cx}(t) + \boldsymbol{Fu}(t)\]で表される線形システムに対して,二次形式の評価関数\[V(u) = {\boldsymbol{x}^T}({t_f}){\boldsymbol{Q}_f}\boldsymbol{x}({t_f}) + 2{\boldsymbol{x}^T}({t_f}){\boldsymbol{S}_f}\boldsymbol{u}({t_f}) + \int_0^{{t_f}} {\left\{ {{\boldsymbol{x}^T}(t)\boldsymbol{Qx}(t) + 2{\boldsymbol{x}^T}(t)\boldsymbol{Su}(t) + {\boldsymbol{u}^T}(t)\boldsymbol{Ru}(t)} \right\}dt} \]を最小にする線形二次形式最適制御を,システムが線形で,評価関数が二次形式であることからLQ制御といい,最適レギュレータともいう.ただし,QF,SF,Q,Rは重み係数である.QSは,一般に出力方程式(観測方程式とは異なる)のCGを用いて次式のように選定される.\[\boldsymbol{Q} = {\boldsymbol{C}^T}\boldsymbol{C},\boldsymbol{S} = {\boldsymbol{C}^T}\boldsymbol{F}\]入力が存在しない,自由応答の確定的制御問題(初期値問題)であれば,この評価関数を最小にする制御則は変分法により容易に求められ,次式で与えられる.\[\boldsymbol{u}(t) = - \boldsymbol{Fx}(t):\boldsymbol{F} = {\boldsymbol{R}^{ - 1}}({\boldsymbol{S}^T} + {\boldsymbol{B}^T}\boldsymbol{P})\]Pは,システムが可安定,可検出であれば,以下のRiccati方程式の一意正定解である.\[ - \boldsymbol{\dot P}(t) = \boldsymbol{P}(t)(\boldsymbol{A} - \boldsymbol{B}{\boldsymbol{R}^{ - 1}}{\boldsymbol{S}^T}) + {(\boldsymbol{A} - \boldsymbol{B}{\boldsymbol{R}^{ - 1}}{\boldsymbol{S}^T})^T}\boldsymbol{P}(t) - \boldsymbol{P}(t)\boldsymbol{B}{\boldsymbol{R}^{ - 1}}{\boldsymbol{B}^T}\boldsymbol{P}(t) + \boldsymbol{Q} - \boldsymbol{S}{\boldsymbol{R}^{ - 1}}{\boldsymbol{S}^T}\]\[\boldsymbol{P}({t_f}) = {\boldsymbol{Q}_f} - {\boldsymbol{S}_f}{\boldsymbol{R}^{ - 1}}\boldsymbol{S}_f^T\]