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フルビッツの安定判別法

Hurwitz's sta-bility criterion

 線形動的システムの安定性を調べる方法の一つである.対象としているシステムの特性方程式が次式のように与えられたとする.\[{s^n} + {a_1}{s^{n - 1}} + {a_2}{s^{n - 2}} + \cdots + {a_{n - 1}}s + {a_n} = 0\]この方程式の係数から次のような行列を構成する.\[H = \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {{a_1}}&{{a_3}}&{{a_5}}&{{a_7}}& \cdots &{}\\ 1&{{a_2}}&{{a_4}}&{{a_6}}& \cdots &{}\\ 0&{{a_1}}&{{a_3}}&{{a_5}}& \cdots &{}\\ 0&{1}&{{a_2}}&{{a_4}}& \cdots &{}\\ \vdots &{}&{}&{}&{}& \vdots \\ 0& \cdots &{}&{}&{{a_{n - 2}}}&{{a_n}} \end{array}} \right]:n \times n行列\]さらに,この行列から次のようなn個の主座行列式をつくる.\[\begin{array}{l} {\it \Delta _1} = {a_1}\\ {\it \Delta _2} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_1}}&{{a_3}}\\ 1&{{a_2}} \end{array}} \right| = {a_1}{a_2} - {a_3}\\ {\it \Delta _3} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_1}}&{{a_3}}&{{a_5}}\\ 1&{{a_2}}&{{a_4}}\\ 0&{{a_1}}&{{a_3}} \end{array}} \right| = {a_1}\left( {{a_2}{a_3} - {a_1}{a_4}} \right) - \left( {{a_3}^2 - {a_1}{a_5}} \right)\\ \vdots \\ {\it \Delta _n} = \left| H \right| \end{array}\]フルビッツの安定判別法は,次の定理に従って行われる.「対象としているシステムが漸近安定であるための必要十分条件はai>0,Δi>0(i=1,2,…,n)である」