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ラプラス変換

Laplace transform

f(t)を区間[0,∞)で定義された区分的に連続な時間関数とする.sを複素数として,つぎの積分\[\mathop {\lim }\limits_{T \to \infty } \int_0^T {f\left( t \right){e^{ - st}}dt} ,s = \sigma + j\omega \]を考える.各sについて右辺の極限が存在するとき\[F\left( s \right) = \int_0^\infty {f\left( t \right){e^{ - st}}dt} \]をf(t)のラプラス変換といい,通常F(s)=\(\mathscr L\)[f(t)]と表す.この定義から分かるように,f(t)のt<0の部分の値は積分に影響を与えない.時間関数f(t)のラプラス変換を求めることを,t-領域からs-領域への変換ともいう.F(s)が与えられたとき,もとの時間関数f(t)はつぎの逆ラプラス変換の公式で与えられる.\[f\left( t \right) = {\mathscr L^{ - 1}}\left[ {F\left( s \right)} \right] = \frac{1}{{2\pi j}}\int_{c - j\infty }^{c + j\infty } {F\left( s \right){e^{st}}ds} \]ただし,上式はF(s)がRe[s]>σaで絶対収束するとき,cσaに対して成立する.ラプラス変換は物理学,工学に現れる過渡現象の解析に広く用いられているが,特に制御工学や回路網理論での重要性が高い.よく用いられるラプラス変換の公式をつぎの表に示す.

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