====== 重み付きサンプリング ======
==== weighted sampling ====

{{tag>..c01}}

　多重積分を一様乱数を用いて効率よく計算する方法．積分\[I = \int_{ - \infty }^\infty  {\int_{ - \infty }^\infty  {f(x,y)dxdy} } \]で//f//が原点から離れると急激に減少する場合には，同様の傾向を示す関数，例えば\(g(x,y) = {\pi ^{ - 1}}\sqrt {\alpha \beta } \exp ( - a{x^2} - \beta {y^2})\)で//f//を規格化し，\(I = {\iint {\mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\frown$}}  \over f} gdxdy} } \)を考える．ここに\(\mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\frown$}}  \over f}  \equiv f/g\)．またgは確率密度．//I//は\(\mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\frown$}}  \over f} \)の期待値になるから，gから抽出したランダムサンプル（//x//<sub>1</sub>, //y//<sub>1</sub>）,（//x//<sub>2</sub>, //y//<sub>2</sub>）, …, （//x//<sub>N</sub>, //y//<sub>N</sub>）を用いて//I//の近似値は\[I = {N^{ - 1}}\sum\limits_{i = 1}^N {\mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\frown$}}  \over f} } ({x_i},{y_i})\]となる．


~~NOCACHE~~