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有限変形
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====== 有限変形 ====== ==== finite deformation ==== {{tag>..c07}} 微小変形理論が適用できない大変形のこと.有限変形の場合には,ひずみ,応力,釣合い式,構成式などは,変形前の配置を基準にする(Lagrange表記)が,変形後の配置を基準にする(Euler表記)かによって異なる.変形前の物質点の位置を**//X//**,その点の時刻tにおける座標を//**x**//で表すと,変形は関数//**x**//=//**x**//(**//X//**,//t//)で表される.変形こう配**//F//**=∂//**x**///∂**//X//**は直交テンソル**//R//**と対称正定値テンソル**//U//**あるいは**//V//**を用いて,**//F//**=**//R//****//U//**=**//V//****//R//**と分解することができる(極分解).ここで,**//R//**は回転,**//U//**,**//V//**はそれぞれ右,左のストレッチ・テンソルと呼ばれる.極分解は,任意の有限変形が互いに直交する三方向の伸縮と回転,あるいはその逆で表されることを示す.Greenのひずみテンソルは**//E//**=(**//F//**//<sup>T</sup>//**//F//**-**//I//**)/2で,またAlmansiのひずみテンソルは**//A//**=(**//I//**-**//F//**//<sup>-T</sup>//**//F//**<sup>-1</sup>)/2で定義される.Cauchy応力を**//T//**で表すと,応力の釣合い式はEuler表記では\(\rho \boldsymbol{\dot v} = {\rm{div}}\boldsymbol{T} + \rho \boldsymbol{f}\)と表される.ここで,divは空間座標に関する発散,//v//は粒子速度,\(\boldsymbol{\dot v}\)は加速度,//ρ//は密度,**//f//**は物体力である.Lagrange表記では\({\rho _0}\boldsymbol{\dot v} = {\rm{DIV}}\boldsymbol{\pi }_K^T + {\rho _0}\boldsymbol{f}\)と表され,//ρ//<sub>0</sub>は変形前の密度,\({\pi _K} = \det \left( \boldsymbol{F} \right)\boldsymbol{T}{\left( {{F^{ - 1}}} \right)^T}\)は第一Piola-Kirchhoffの応力テンソル,DIVは変形前の座標**X**関する発散である.弾性体の構成式は**//T//**=**//R//****//G//**(**//U//**)**//R//**//<sup>T</sup>//という形で表すことができ,釣合い式に代入すると有限弾性論の基礎式が得られる.弾性論だけでなく,粘弾性,塑性などの非弾性理論も有限変形に拡張されている.いずれも変形が小さい場合には微小変形理論に帰着する. ~~NOCACHE~~
07/1012904.txt
· 最終更新: 2023/02/17 11:28 by
127.0.0.1
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