2022年度日本機械学会賞（論文）受賞

ベイジアンCP分解を用いた劣決定系の実稼働モード解析

富田直，神保智彦

日本機械学会論文集, 2021, 87巻, 899号, p .21-00134.

DOI: 10.1299/transjsme.21-00134

振動モード解析

本論文で取り組んだのは、「実稼働モード解析」と呼ばれるモード解析手法である。一般的な「実験モード解析」は、ハンマなどで加振力を入力してセンサで構造物からの出力を計測する。つまり入力と出力の両方の情報が必要となる。しかし、「実稼働モード解析」は入力情報を必要としない。これにより、インフラ構造物のセンサを設置し、共振周波数などのモード特性を抽出して観測することで、その変化から故障などの異常検出などに役立つ。

本論文では、実稼働モード解析において、センサ数がモードの数より少ない劣決定な状態でも振動モードを抽出する方法を取り扱った。中でも、事前に計測する構造物のモード数を設定する必要がないフレームワークを構築した。

以上の特徴をもつ実稼働モード解析の実現に至ったポイントは、音声分野で発展した暗中信号源分離（音源分離の手法）の問題と振動モード解析の間にアナロジーが成り立ち、その周辺で発展したアルゴリズムを取り入れることで達成できた点である。このような数理に基づいた研究は、その構造からさまざまな問題を横断的に取り扱うことができる点が有意義であると感じる。

音声分離とのアナロジー

本研究で取り入れた暗中信号源分離は、機械構造物のモード解析との間に図1に示すような類似性がある。まず、暗中信号源分離は、図1（a）のとおり、未知の音源sが混合行列Aを介して混合して計測される信号xから、信号を分離する方法である。このような方法と対応して、振動モード解析は、図1（ｂ）のとおり、モーダル応答ηが各モードベクトルΦを介して混ざった実信号xから信号を分離する問題である。このような問題の類似性から、ほかの分野で発展したアルゴリズムを取り入れることができた。

（a）　Blind source separation

（b）　Operational modal analysis

図1　暗中信号源分離と実稼働モード解析の類似性

高次元配列の分解

劣決定で音源を分離するために提案されているのが、テンソル分解と呼ばれる高次元配列の分解による手法である。このテンソル分解との出会いは、共著者が車両の低次元モデルの構築に使用していたことがきっかけだった^（1）。テンソル分解について学ぶ中で、より音源分離に用いられるとともに限られたセンサ数でのモード解析への応用も行われている^（2）ことを知った。本研究はそれを発展させてより有効な実稼働モード解析を実現することをねらった。

今回の手法では、図2に示す異なる時間遅れごとに複数の共分散行列（「設置センサ数」×「設置センサ数」）を計算する。そして、図3のとおり、用意した時間遅れの数だけ積み重ねることで、テンソルサイズが「設置センサ数」×「設置センサ数」×「時間遅れ数」の三次元テンソルを構築する。この配列をCP（CANDECOMP/PARAFAC）分解もしくはPARAFAC（parallel factors）分解^（3）と呼ばれる方法を用いて、ランク1テンソルの和に分解する。ここで、CP分解の一意性は、テンソルの最小次元〔min（M,M,K）〕がCPランクD（モードの数）より小さい場合においても成立する^（4）ため、CP分解が劣決定のモード分解が可能となる。本研究では、事前にモード数を知らない条件化でも実稼働モード分解を行うことができるように、機械学習のコミュニティで提案されていたベイジアンCP分解^（5）を用いることで、分解の過程に自動的にモード数が決定される劣決定系の実稼働モード解析を実現した。数値例として、10自由度のシステムでセンサをふたつ欠損させた場合において、異なるセンサ配置で同定した結果、図4に示すとおり、共振周波数やMAC（Modal Assurance criteria）に関してよい結果を得られた。

図2　時間遅れの信号の取り方

図3　3次元テンソルの作成とCP分解のイメージ図

（a）　Natural frequency

（b）MAC

図4　8センサの場合の同定結果の例

おわりに

学生時代に機械工学科の振動工学の研究室に配属されて、手に取った「モード解析入門」^（6）という書籍が振動工学のバイブルのような書籍で、それ以来現職の業務でもモード解析の知識の基礎となっている。機械力学における学びが今回の論文での新たな取組みの基礎となり、本論文の成果へとつながったと感じる。

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参考文献

(1) T. Jimbo, R. Hibino and H. Yamaguchi, Jimbo, T., Hibino, R. and Yamaguchi, H., Operational output-only data-driven control input estimation and low-order physical modeling for vehicle vibrations, Mechanical Systems and Signal Processing, Vol.171 (2022), DOI: 10.1016/j.ymssp.2022.108877.

(2) F. Abazarsa,, S. Ghahari,, F. Nateghi and E. Taciroglu, Response‐only modal identification of structures using limited sensors, Structural Control and Health Monitoring, Vol.20, No.6 (2013), pp.987—1006.

(3) T. G. Kolda, and B. W. Bader, Tensor decompositions and applications, SIAM review, Vol.51, No.3 (2009), pp.455–500.

(4) L. De Lathauwer, and J. Castaing,, Blind identification of underdetermined mixtures by simultaneous matrix diagonalization, IEEE Transactions on Signal Processing, Vol.56, No.3 (2008), pp.1096–1105.

(5) Q. Zhao, L. Zhang, A. Cichocki, Bayesian CP Factorization of Incomplete Tensors with Automatic Rank Determination, IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence, 37 (2015) pp.1751-1763.

(6) 長松 昭男,モード解析入門(1993), コロナ社.

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＜正員＞

富田 直

◎豊田中央研究所　数理工学研究領域　研究員

◎専門：機械力学、波動工学、応用数理