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本連載を書籍化した、「基礎からの材料力学 (JSMEやさしいテキストシリーズ) 」が発行されました。機械工学への新たな一歩を踏み出す学生の方々、学びなおしの一冊として教科書をお探しの社会人の方々にふさわしい新定番の教科書です。　Kindle版　／　単行本（ソフトカバー）版　

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1　はじめに

今回より3回にわたって，細長い構造物が横荷重を受ける場合，すなわちはりの曲げを取り扱う。本稿でははりに生じるせん断力・曲げモーメントの分布を求め，さらにははりの横断面に生じる垂直応力（曲げ応力）を求めるための手順について解説する。

2　せん断力と曲げモーメント

一般に横荷重（軸線に垂直な荷重）が作用する細長い棒状の構造物をはり（beam）と呼ぶ。はりに横荷重が作用すると，はりの横断面にはせん断応力と垂直応力が同時に生じる。ここで，はりの横断面に生じるせん断応力の合力をせん断力（shear force），また，垂直応力を生じさせる外力のモーメントないしは，横断面に生じる垂直応力の合モーメントを曲げモーメント（bending moment）と呼ぶ。

はりの横断面について，図7.1(a)のように正の面と負の面を定義する。法線ベクトルが$x$軸の正方向を向く面が正の面（+），また法線ベクトルが$x$軸の負の方向を向く面が負の面（−）である。せん断力は，正の面に関して$\boldsymbol{z}$軸の正方向に作用するせん断力が正であると定義される。また，曲げモーメントは図7.1(b)に示されるように，$\boldsymbol{z}$軸が下向きの状態で，はりの変形が下に凸となる場合の曲げモーメントが正と定義される。なお，本連載では，はりの変形を$x$-$z$平面内で考えるものとし，$x$軸は誌面の右向きを正，$z$軸は誌面下向きを正と定義する。

図7.1　せん断力と曲げモーメントの正負

3　せん断力図（SFD）と曲げモーメント図（BMD）

図7.2(a)のような，はりの左端が固定され，右端に横荷重が作用する片持はり（cantilever beam）について考える。図7.2(b)に示すように，座標$x$の位置（点B）ではりを切断して考えると，はりBAの右端（点A）では誌面の下向きに荷重$P$が作用しているので，その荷重につりあうように左側の断面（点B）では上向きにせん断力$Q=P$が作用していることになる。片持はりの場合，$0 \le x \le l$の任意の位置で同様の議論が成り立つので，せん断力は一様に$Q(x)=P$である。このせん断力の分布を図示したのが7.2(c)で，この図を一般にせん断力図（SFD：shear force diagram）と呼ぶ。

図7.2　片持はりのせん断力分布

一方，図7.3(a)のように横荷重$P$により点Bに生じる曲げモーメントは$P(l-x)$である。曲げモーメントの正負に注意すれば，曲げモーメントの分布$M(x)$は

\[M(x) = -P(l-x)\]

(1)

となることがわかる。この曲げモーメントの分布を図示したものが，図7.3(b)であり，この図を一般に曲げモーメント図（BMD：bending moment diagram）と呼ぶ。片持はりの曲げモーメントは，座標$x$に関して1次関数状に分布することがわかる。

図7.3　片持はりの曲げモーメント分布

次に，図7.4に示すように，はりの両端をモーメントが発生しないように点で支持し（この支持方法を単純支持と呼ぶ）一様な分布圧力$q$が作用する場合について考える。なお，$q$は単位長さ当たりの荷重を意味する。はりに作用する分布荷重の合力は$ql$であるから，はりの両端には反力$R={ql/2}$がはりに対して上向きに作用する。

図7.4　等分布荷重を受ける単純支持はり

図7.5に示すように，はりを座標$x$の位置で切断し，切断された左側の部分について考える。分布荷重の合力は$F=qx$であり，左端の反力を考慮して$z$軸方向の力のつり合いを考えると，

\[ F + Q(x) = R \quad \therefore \ qx + Q(x) = \frac{1}{2}ql\]

(2)

よって，座標$x$の位置におけるせん断力$Q(x)$は，

\[ Q(x) = \frac{1}{2}q(l – 2x)\]

(3)

となる。次に，切断部における曲げモーメントを$M(x)$としてモーメントのつり合いを考える。分布荷重の合力が切断部の中央に作用するものとみなして座標$x$の位置におけるモーメントのつり合いについて考えると，

\[ R x – F \times \frac{x}{2} = M(x) \quad \therefore \ \frac{1}{2} qlx – \frac{1}{2} qx^2 = M(x)\]

(4)

よって，座標$x$の位置における曲げモーメント$M(x)$は，

\[ M(x) = \frac{1}{2}qx(l – x)\]

(5)

となり，最終的にせん断力図（SFD）および曲げモーメント図（BMD）は図7.6のようになる。

図7.5　はりに作用する垂直荷重とモーメントのつり合い

図7.6　等分布荷重をうける両端単純支持はりのSFDとBMD

4　断面2次モーメントと曲げの断面係数

はりに作用するモーメント$M$とはりに生じる曲率$\kappa = 1/R$（$R$：曲率半径）のあいだには，

\[ M = EI \kappa\]

(6)

なる比例関係が成立する。ここで，$E$はヤング率，$I$は断面2次モーメントである。直径$D$の円形断面および幅$b$，高さ$h$の長方形断面における断面2次モーメントは，

\[ \text{円形：} I = \frac{\pi D^4}{64}, \quad \text{長方形：} I = \frac{bh^3}{12}\]

(7)

となる。均質等方性材料においては，横断面上の垂直応力$\sigma_x(z)$および垂直ひずみ$\varepsilon_x(z)$は，はりが十分に薄い（細い）場合，はりの中立面に対して対称かつ線形となる。曲げモーメント$M$と垂直応力＝曲げ応力$\sigma_x(z)$，垂直ひずみ＝曲げひずみ$\varepsilon_x(z)$の関係は，

\[ \sigma_x(z) = \frac{M}{I} z, \quad \varepsilon_x(z) = \frac{M}{EI} z\]

(8)

となる。図7.7からわかるとおり，曲げ応力の最大値は，はりの上下面で生じるから，円形断面において$z=\pm D/2$，長方形断面において$z=\pm h/2$において応力は最大となる。すなわち，

\[ \text{円形：} \sigma_{\rm max} = \frac{M}{I} \times \frac{D}{2} = \frac{32 M}{\pi D^3} = \frac{M}{Z}\]

(9)

\[ \text{長方形：} \sigma_{\rm max} = \frac{M}{I} \times \frac{h}{2} = \frac{6 M}{bh^2} = \frac{M}{Z}\]

(10)

ここで，上式の$Z$を断面係数と呼び，

\[ \text{円形：} Z = \frac{\pi D^3}{32}, \quad \text{長方形：} Z = \frac{b h^2}{6}\]

(11)

である。BMDによって曲げモーメントの最大値を求め，その値を断面係数$Z$で除すことにより，そのはりに生じる曲げ応力の最大値を求めることができる。

図7.7　はりに生じる曲げひずみと曲げ応力

演習問題7.1: はりの3点曲げ

 

長さ$l$，ヤング率$E$，幅$b$，高さ$h$のはりの両端が単純支持され，はりのスパン中央に集中荷重$P$が図のように作用している。このはりにおけるせん断力図（SFD），曲げモーメント図（BMD）を求め，はりに生じる最大曲げ応力を求めよ。

（答：$\displaystyle \boldsymbol{\sigma_{\rm max} = \frac{M_{\rm max}}{Z} = \frac{Pl}{4} \times \frac{6}{b h^2} = \frac{3Pl}{2b h^2}}$）

SFD，BMDは以下のとおり

 

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＜フェロー＞

荒井 政大

◎名古屋大学 工学研究科航空宇宙工学専攻 教授

◎専門：材料力学，固体力学，複合材料。有限要素法や境界要素法による数値シミュレーションなど。

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