1. はじめに

本稿では，多くの自由度を有する振動系について説明する．

2. 多自由度系の固有振動数と固有振動モード

複数の弾性変形する部材で構成される機械を振動系として厳密に捉え部材上の各点の変位を考えるならば，系の自由度は無限大となる．断面一様なはりのような単純な系であれば，連続体としての運動方程式を導出して無数ある固有振動数と固有振動モードを求めることも可能である．しかしこのような場合はまれなので，通常は何らかの方法で離散的な系としてモデル化した多自由度振動系として解析する．
図11.1に示すようにモデル化した離散的な系についても，以下のような$n$自由度系に関する運動方程式が得られる．

$\mathbf{M\ddot{x}+C\dot{x}+Kx=f}$　　　　 (1)

ここで$\mathbf{M}$は質量行列，$\mathbf{C}$は減衰行列，$\mathbf{K}$は剛性行列と呼ばれ，多くの場合は対称行列である．また$\mathbf{x}$は変位ベクトル，$\mathbf{f}$は外力ベクトルと呼ばれ，それぞれ以下のとおりである．

$\mathbf{M}=\left( \begin{matrix}
{{m}_{11}} & \cdots & {{m}_{1n}} \\
\vdots & \ddots & \vdots \\
{{m}_{n1}} & \cdots & {{m}_{nn}} \\
\end{matrix} \right),~\mathbf{C}=\left( \begin{matrix}
{{c}_{11}} & \cdots & {{c}_{1n}} \\
\vdots & \ddots & \vdots \\
{{c}_{n1}} & \cdots & {{c}_{nn}} \\
\end{matrix} \right),$

$\mathbf{K}=\left( \begin{matrix}
{{k}_{11}} & \cdots & {{k}_{1n}} \\
\vdots & \ddots & \vdots \\
{{k}_{n1}} & \cdots & {{k}_{nn}} \\
\end{matrix} \right),~\mathbf{x}=\left( \begin{matrix}
{{x}_{1}} \\
\vdots \\
{{x}_{n}} \\
\end{matrix} \right),~\mathbf{f}=\left( \begin{matrix}
{{f}_{1}} \\
\vdots \\
{{f}_{n}} \\
\end{matrix} \right)$ 　　　　(2)